Câu 4.12 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = - 5 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {2 \over 3}{u_n} - 6 \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi \({v_n} = {u_n} + 18\)

a) Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn

b) Tính tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) và tìm \(\lim {u_n}\)

Giải

a) \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 18 = {2 \over 3}{u_n} - 6 + 18 = {2 \over 3}{u_n} + 12\)

Thay \({u_n} = {v_n} - 18\) vào đẳng thức trên, ta được

                        \({v_{n + 1}} = {2 \over 3}\left( {{v_n} - 18} \right) + 12 = {2 \over 3}{v_n}\)

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {2 \over 3}\)

b) Tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) là

                        \(S = {{{v_1}} \over {1 - q}} = {{13} \over {1 - {2 \over 3}}} = 39\)

Vì \(\lim {v_n} = 0\) nên \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} =  - 18\)

Sachbaitap.com