Câu 4.17 trang 105 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh các bất đẳng thức sau và chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào :

a. \(\left( {{\rm{a}} + b} \right)\left( {{\rm{a}}b + 1} \right) \ge 4{\rm{a}}b;\)

b. \(\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{a}}b + bc + ca} \right) \ge 9{\rm{a}}bc.\)

Giải:

a. Với \(a ≥ 0, b ≥ 0\) ta có

\(a + b \ge 2\sqrt {ab}  \ge 0;ab + 1 \ge 2\sqrt {{\rm{a}}b}  \ge 0.\)

Từ đó suy ra \(\left( {{\rm{a}} + b} \right)\left( {{\rm{a}}b + 1} \right) \ge 2\sqrt {{\rm{a}}b} .2\sqrt {{\rm{a}}b}  = 4{\rm{a}}b.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

b. Với \(a ≥ 0, b≥ 0, c ≥ 0\), ta có :

\(\begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0\\ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \ge 0.\end{array}\)

Từ đó suy ra

\(\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{a}}b + bc + ca} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)

\(= 9{\rm{a}}bc\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Sachbaitap.com