Câu 4.20 trang 105 SBT Đại số 10 Nâng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a. \(f\left( {\rm{x}} \right) = {x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}}\)

b. \(g\left( {\rm{x}} \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{1 - x}}\)  với \(0 < x < 1.\)

Giải:

a. \({x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt {{{x}^2}.\dfrac{{16}}{{{x^2}}}}  = 8.\) Đẳng thức xảy ra khi \(x = ±2.\)-

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là 8 khi \(x = ±2.\)

b. Do \(0 < x < 1\) nên \(1 – x > 0.\)

Ta có

\(\eqalign{& {1 \over x} = {{1 - x} \over x} + 1; \cr& {2 \over {1 - x}} = {{2x} \over {1 - x}} + 2; \cr & {1 \over x} + {2 \over {1 - x}} \cr & = {{1 - x} \over x} + {{2x} \over {1 - x}} + 3 \ge 2\sqrt {{{1 - x} \over x}.{{2x} \over {1 - x}}} + 3 \cr & = 2\sqrt 2 + 3 \cr} \)

Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{{1 - x}}{x} = \dfrac{{2x}}{{1 - x}}\)  và \(0 < x < 1\) tức là \(x =  - 1 + \sqrt 2 .\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(g(x)\) là \(2\sqrt 2  + 3\) khi \(x =  - 1 + \sqrt 2 \)

Sachbaitap.com