Câu 4.33 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với

a) \(\lim {{{2^{n + 1}} - {3^n} + 11} \over {{3^{n + 2}} + {2^{n + 3}} - 4}}\)                     

b) \(\lim {{{{13.3}^n} - {5^n}} \over {{{3.2}^n} + {{5.4}^n}}}\)

Giải                   

a) Chia tử và mẫu của phân thức cho \({3^n},\) ta được

                   \({u_n} = {{2{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1 + {{11} \over {{3^n}}}} \over {9 + 8{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {4 \over {{3^n}}}}}\) với mọi n

Vì \(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0,\,\,\lim {1 \over {{3^n}}} = 0\) nên

                             \(\lim {u_n} =  - {1 \over 9}\)

b) Chia tử và mẫu của phân thức cho \({4^n},\) ta được

                        \({u_n} = {{13{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} - {{5n} \over {{4^n}}}} \over {3{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n} + 5}}\) với mọi n

Ta biết rằng nếu \(q > 1\) thì \(\lim {n \over {{q^n}}} = 0\) 

Do đó \(\lim {{5n} \over {{4^n}}} = 5\lim {n \over {{4^n}}} = 5.0 = 0.\) ngoài ra ta có \(\lim {\left( {{3 \over 4}} \right)^n} = 0\)

 \(\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\). Do đó

\(\lim \left[ {13{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} - {{5n} \over {{4^n}}}} \right] = 0\) và \(\lim \left[ {3{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n} +5} \right] = 5 \ne 0.\)

Vậy \(\lim {u_n} = {0 \over 5} = 0.\)

Sachbaitap.com