Câu 4.37 trang 139 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 3 \hfill \cr
2{u_{n + 1}} = {u_n} + 1 \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi

                        \({v_n} = {u_n} - 1\) với mọi n

a) Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

b) Gọi \({S_n}\) là tổng số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Tìm \(\lim {S_n}\)

Giải

a) Với mọi n, ta có

\({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - 1 = {{{u_n} + 1} \over 2} - 1 = {{{u_n} - 1} \over 2} = {1 \over 2}{v_n}.\)        

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {1 \over 2}.\)

b) Ta có

\(\eqalign{
 {S_n}& = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \cr&= \left( {{v_1} + 1} \right) + \left( {{v_2} + 1} \right) + ... + \left( {{v_n} + 1} \right) \cr
& = \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n}} \right) + n = {s_n} + n, \cr} \)

Trong đó \({s_n}\) là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{v_n}} \right)\). Tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) là

                  \(s = \lim {s_n} = {{{v_1}} \over {1 - q}} = {2 \over {1 - {1 \over 2}}} = 4.\)

Do đó

                     \(\lim {S_n} = \lim \left( {{s_n} + n} \right) =  + \infty \).

Sachbaitap.com