Xem thêm: Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc
Cho tam giác cân ABC, \(AB = AC = a,\widehat {BAC} = {120^0}\). Xét hai tia cùng chiều Bt, Ct’ và vuông góc với mp(ABC). Lấy điểm B’ thuộc Bt, C’ thuộc Ct’ sao cho BB’ = 3CC’ và \(C’ ≢ C\).
a) Chứng minh rằng giao tuyến của mp(ABC) và mp(AB’C’) cố định khi B’. C’ thay đổi.
b) Khi BB’ = a, tính góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (ABC), tính diện tích tam giác AB’C’.
Trả lời
a) Vì BB’ = 3CC’ nên đường thẳng B’C’ cắt BC tại điểm I thì \(BI = {3 \over 2}BC\).
Như vậy I là điểm cố định, mặt khác giao tuyến của mp(AB’C’) và mp(ABC) là AI. Như vậy, khi B’, C’ thay đổi thì giao tuyến của mp(AB’C’) và mp(ABC) là đường thẳng AI cố định.
b) Khi BB’ = a thì \(CC' = {a \over 3}\)
Dễ thấy: \(BC = a\sqrt 3 \)
Do \(CC' = {1 \over 2}BC\)
nên \(CI = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Ta có: \(AJ = {a \over 2}\left( {AJ \bot BC,J \in BC} \right)\) và \(IJ = a\sqrt 3 \).
Kẻ \(CK \bot AI\), do \(C'C \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(C'K \bot AI\).
Vậy \(\widehat {CKC'}\) là góc giữa mp(AB’C’) và mp(ABC).
Ta có:
\(\eqalign{ & {{CK} \over {AJ}} = {{CI} \over {AI}}; \cr & A{I^2} = A{J^2} + J{I^2} = {{{a^2}} \over 4} + 3{a^2} = {{13{a^2}} \over 4} \cr} \)
nên \(AI = {{a\sqrt {13} } \over 2}\)
Từ đó \(CK = {a \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.{2 \over {a\sqrt {13} }} = {{a\sqrt 3 } \over {2\sqrt {13} }}\)
Đặt \(\widehat {CKC'} = \varphi \) thì \(\tan \varphi = {{CC'} \over {CK}} = {a \over 3}.{{2\sqrt {13} } \over {a\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9}\)
Như thế góc giữa mp(AB’C’) và mp(ABC) là φ mà \(\tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9}\) .
Tam giác AB’C’ có hình chiếu trên mp(ABC) là tam giác ABC mà \({S_{ABC}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\).
Vậy \({S_{AB'C'}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \varphi }} = {{{a^2}\sqrt {79} } \over {12}}\)
(Tính cosφ nhờ \(\tan \varphi = {{2\sqrt {39} } \over 9}\) được \(\cos\varphi = {{3\sqrt 3 } \over {\sqrt {79} }}\))
Sachbaitap.com
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục