Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 51 trang 124 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 51 trang 124 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Trong mp(P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần luợt là trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P) vẽ nửa đường tròn đường kính (EF). Gọi S là điểm bất kì trên nửa đường tròn đó.

a) Chứng minh rằng mp(SEF) vuông góc với hai mặt phẳng (SAD), (SBC) và mp(SAD) vuông góc với mp(SBC).

b) Gọi H’, K’ lần lượt là hình chiếu của các trực tâm H và K của các tam giác SAD và SBC xuống (P). Chứng minh rằng HH’.KK’ không phụ thuộc vào vị trí điểm S.

Trả lời

 

a) Vì \(\left( {SEF} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(A{\rm{D}} \bot {\rm{EF}}\)

nên \(AD \bot \left( {SEF} \right)\)

Từ đó \(\left( {SEF} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).

Tương tự \(\left( {SEF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)

Dễ thấy \(\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right) = St,St//A{\rm{D}}.\)

Do \(AD \bot \left( {SEF} \right)\),  từ đó \(St \bot \left( {SEF} \right)\), tức là \(\widehat {ESF}\) hoặc \({180^0} - \widehat {ESF}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Vì S thuộc đường tròn đường kính EF nên \(\widehat {ESF} = {90^0}\)

Vậy \(\left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)

b) Kẻ \(DD' \bot SA\)

Do

\(\eqalign{  & SF \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow SF \bot DD'  \cr  &  \Rightarrow DD' \bot \left( {SAF} \right) \Rightarrow DD' \bot AF \cr} \)

Mặt khác \(HH' \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên \(DH' \bot AF\)  (định lí ba đường vuông góc).

Ta lại có H’ thuộc EF. Vậy H’ là trực tâm tam giác ADF, từ đó H’ cố định. Tương tự K’ cũng là điểm cố định.

Ta có ∆HH’E đồng dạng ∆FK’K, do đó

\({{HH'} \over {K'F}} = {{H'E} \over {K'K}} \Rightarrow HH'.KK' = H'E.K'F\)

Như vậy HH’.KK’ không đổi

Thật vậy, ∆EDH’ đồng dạng ∆EFA \( \Rightarrow {{EH'} \over {E{\rm{A}}}} = {{DE} \over {F{\rm{E}}}} \Rightarrow EH' = {{{a^2}} \over {4b}}\).

Tương tự, ta cũng có \(FK' = {{{a^2}} \over {4b}}\)

Vậy \(HH'.KK' = {{{a^4}} \over {16{b^2}}}\) không đổi.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Bài viết liên quan