Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4.8 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 4.8 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Cho a, b, c là số đo ba cạnh ; A, B, C là số đo (độ) ba góc tương ứng của một tam giác. Chứng minh rằng :

a. \(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) \ge 0\) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?

b. \(60^\circ  \le \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?

(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).

Giải:

a. Áp dụng mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ta có :

Nếu \(a ≥ b\) thì \(A ≥ B\) ;

Nếu \(a ≤ b\) thì \(A ≤ B\) ;

Vì vậy luôn có \(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) \ge 0,\) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b (A = B), tức là tam giác ABC cân tại C.

b. Theo câu a. ta có

\(\begin{array}{l}\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) + \left( {b - c} \right)\left( {B - C} \right) + \left( {c - a} \right)\left( {C - A} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow aA + bB + cC - bA - aB - bB - cB - bC + cC - aC - cA + aA \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) - \left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{A}} + B + C} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \ge \dfrac{{A + B + C}}{3} = 60^\circ .\end{array}\)

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi A = B = C, tức là tam giác ABC là tam giác đều.

Lại có

\(a + b > c;b + c > a;c + a > b\) nên \(aA + bB + cC < \left( {b + c} \right)A + \left( {c + a} \right)B + \left( {{\rm{a}} + b} \right)C\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) < \left( {{\rm{A}} + B + C} \right)\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\)

Từ đó suy ra \(\dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan