Câu 4.8 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho a, b, c là số đo ba cạnh ; A, B, C là số đo (độ) ba góc tương ứng của một tam giác. Chứng minh rằng :

a. \(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) \ge 0\) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?

b. \(60^\circ  \le \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?

(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).

Giải:

a. Áp dụng mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ta có :

Nếu \(a ≥ b\) thì \(A ≥ B\) ;

Nếu \(a ≤ b\) thì \(A ≤ B\) ;

Vì vậy luôn có \(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) \ge 0,\) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b (A = B), tức là tam giác ABC cân tại C.

b. Theo câu a. ta có

\(\begin{array}{l}\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) + \left( {b - c} \right)\left( {B - C} \right) + \left( {c - a} \right)\left( {C - A} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow aA + bB + cC - bA - aB - bB - cB - bC + cC - aC - cA + aA \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) - \left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{A}} + B + C} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \ge \dfrac{{A + B + C}}{3} = 60^\circ .\end{array}\)

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi A = B = C, tức là tam giác ABC là tam giác đều.

Lại có

\(a + b > c;b + c > a;c + a > b\) nên \(aA + bB + cC < \left( {b + c} \right)A + \left( {c + a} \right)B + \left( {{\rm{a}} + b} \right)C\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) < \left( {{\rm{A}} + B + C} \right)\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\)

Từ đó suy ra \(\dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \)

Sachbaitap.com