Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 5.22 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Cho hai hàm số. Chứng minh rằng

Cho hai hàm số

                        \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)  và \(g\left( x \right) = {1 \over 4}\cos 4x\)

Chứng minh rằng

                        \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\)

Giải

Cách 1. Với mọi \(x \in R\), ta có

\(\eqalign{ f'\left( x \right)& = 4{\sin ^3}x\cos x + 4{\cos ^3}x\left( { - \sin x} \right) \cr&= 4\sin x\cos x({\sin ^2}x - {\cos ^2}x)  \cr& = 2\sin 2x\left( { - \cos 2x} \right) =  - \sin 4x. \cr} \)

Mặt khác ta có

    \(g'\left( x \right) = {1 \over 4}\left( { - 4\sin 4x} \right) =  - \sin 4x.\)

Vậy với mọi \(x \in R\), ta có

                        \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right).\)

Cách 2. Ta chứng minh rằng \(f\left( x \right)\)  và \(g\left( x \right)\) khác nhau một hằng số ; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau (nếu chúng có đạo hàm) . Thật vậy, ta có

\(\eqalign{{\sin ^4}x + {\cos ^4}x &= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x  \cr& = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x\cr& = 1 - {1 \over 2}.{{1 - \cos 4x} \over 2} \cr&= {3 \over 4} + {1 \over 4}\cos 4x \cr} \)

Tức là  \(f\left( x \right) = {3 \over 4} = g\left( x\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right).\)

Vậy                             \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right).\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Bài viết liên quan