Câu 6.1, 6.2, 6.3 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Câu 6.1 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Dựng một cung chứa góc 60⁰ trên đoạn thẳng AB cho trước.

Giải

Cách dựng: − Dựng đoạn thẳng AB.

− Dựng tia Ax sao cho \(\widehat {BAx} = 60^\circ \).

− Dựng đường thẳng d là trung trực của AB.

− Dựng tia Ay ⊥ Ax tại A.

− Tia Ay cắt đường thẳng d tại O.

− Dựng cung tròn tâm O bán kính OA.

− Dựng O' đối xứng với O qua AB.

− Dựng cung tròn tâm O’ bán kính O’A.

Ta có cung chứa góc 60º vẽ trên đoạn AB cho trước.

Câu 6.2 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó.

Một đường thẳng d thay đổi, luôn đi qua A, cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là B và C. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng BC.

Giải

Chứng minh thuận:

Đường tròn (O) cho trước, điểm A cố định nên OA có độ dài không đổi.

∆OBC cân tại O (vì OB = OC bán kính)

  IB = IC (gt) nên OI là đường trung tuyến vừa là đường cao

\( \Rightarrow \) OI ⊥ BC

\( \Rightarrow \widehat {OIA} = 90^\circ \)

Đường thẳng d thay đổi nên B, C thay đổi thì I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn OA cố định góc \(\widehat {OIA} = 90^\circ \). Vậy I chuyển động trên đường tròn đường kính OA.

Chứng minh đảo: Lấy điểm I’ bất kỳ trên đường tròn đường kính AO. Đường thẳng AI’ cắt đường tròn (O) tại 2 điểm B’ và C’.

Ta chứng minh: I’B = I’C’.

Trong đường tròn đường kính AO ta có \(\widehat {OI'A} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \) OI'⊥ B'C'

\( \Rightarrow \) I'B' = I'C' (đường kính vuông góc với dây cung)

Vậy quỹ tích các điểm I là trung điểm của dây BC của đường tròn tâm O khi BC quay xung quanh điểm A cố định là đường tròn đường kính AO.

Câu 6.3 trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho

\(MA + MB + MC\) nhỏ nhất.

Giải

Trong ∆ABC ta lấy điểm M. Nối MA, MB, MC.

Ta cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.

Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN. Suy ra: CM = MN.

Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC.

Xét ∆AMC và ∆PNC:

                CM = CN (vì ∆MCN đều)

                CA = CP (vì ∆APC đều)

                 \(\widehat {MCA} + \widehat {ACN} = 60^\circ \)

\(\widehat {ACN} + \widehat {NCP} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {NCP}\)

Suy ra: ∆AMC = ∆PNC (c.g.c)

\( \Rightarrow \)           PN = AM

                  MA + MB + MC = MB + MN + NP

Ta có ∆ABC cho trước nên điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn nhất khi 4 điểm B, M, N, P thẳng hàng.

Vì \(\widehat {CMN} = 60^\circ \) nên 3 điểm B, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi \(\widehat {BMC} = 120^\circ \)

Vì \(\widehat {CNM} = 60^\circ \) nên 3 điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi \(\widehat {CNP} = 120^\circ \)

Mà ∆AMC = ∆PNC (chứng minh trên)     \( \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {PNC} = 120^\circ \)

Vậy MA + MB + MC bé nhất khi và chỉ khi \(\widehat {BMC} = 120^\circ \)  và \(\widehat {AMC} = 120^\circ \)

Vậy M là giao điểm của 2 cung chứa góc 120º dựng trên BC  và AC.

Sachbaitap.com