Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 61 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 61 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD), cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc α. Tính:

a) Chiều cao của hình chóp S.ABCD;

b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng (SCD);

c) Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng trung trực của cạnh BC.

Trả lời

 

a) Gọi H là trung điểm của AB thì \(SH \bot AB\), từ đó \(SH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\). Vậy khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH, đó là chiều cao của hình chóp.

Ta có \(SH = HC\tan \alpha \),

mặt khác \(H{C^2} = B{H^2} + B{C^2} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 4}\).

hay \(HC = {{a\sqrt 5 } \over 2}\).

Vậy \(SH = {{a\sqrt 5 } \over 2}\tan \alpha \).

b) Gọi K là trung điểm của CD thì \(C{\rm{D}} \bot \left( {SHK} \right)\), từ đó \(\left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SHK} \right)\). Vậy nếu kẻ đường cao HI của tam giác SHK thì HI là khoảng cách từ H đến mp(SCD). Ta có:

\(\eqalign{  & HI = {{H{\rm{S}}.HK} \over {SK}} = {{{{a\sqrt 5 } \over 2}\tan \alpha .a} \over {\sqrt {{{5{{\rm{a}}^2}} \over 4}{{\tan }^2}\alpha  + {a^2}} }}  \cr  &  = {{a\sqrt 5 \tan \alpha } \over {\sqrt {5{{\tan }^2}\alpha  + 4} }} \cr} \)

c) Vì SH và CD cùng vuông góc với BC nên SH, CD song song với mặt phẳng trung trực (R) của BC. Khi đó:

\(\left( R \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = MN\) với MN // CD và M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.

\(\left( R \right) \cap \left( {SHK} \right) = EF\), EF // SH, E là trung điểm của MN.

\(\left( R \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = PQ\), PQ đi qua điểm F và PQ // CD. Thiết diện MNPQ là hình thang cân.

Ta có

 \(\eqalign{  & {S_{MNPQ}} = {1 \over 2}\left( {MN + PQ} \right).EF  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {a + {a \over 2}} \right).{{a\sqrt 5 } \over 4}\tan \alpha   \cr  &  = {{3{a^2}\sqrt 5 } \over {16}}\tan \alpha  \cr} \).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan