Câu 62 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác  vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng:

a) DM = AH

b) MN đi qua trung điểm của DE

Giải

a) Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {DAM} = 180^\circ \) (kề bù)

Mà  \(\widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat {DAM} = 90^\circ \)      (1)

Trong tam giác vuông AMD, ta có:

\(\widehat {AM{\rm{D }}} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {DAM} + \widehat {A{\rm{D}}M} = 90^\circ \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\)

Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:

\(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {BAH} = 90^\circ \)

AB = AD (gt)

\(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆AMD = ∆BHA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy: AH = DM (2 cạnh tương ứng)     (3)

b) Ta có: \(\widehat {HAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 180^\circ \) (kề bù)

Mà \(\widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 90^\circ \)     (4)

Trong tam giác vuông AHC, ta có:

\(\widehat {AHC} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \left( 5 \right)\)

Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\)

Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {E{\rm{N}}A} = 90^\circ \)

AC = AE (gt)

\(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆AHC = ∆ENA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy AH = EN (2 cạnh tương ứng)

Từ (3) và (6)  suy ra : DM = EN

Vì \(DM \bot AH\) và \(EN \bot AH\) nên DM // EN (2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3)

Gọi O là giao điểm MN và DE

Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:

\(\widehat {DMO} = \widehat {EN{\rm{O}}} = 90^\circ \)

DM = EN (chứng minh trên)

\(\widehat {M{\rm{D}}O} = \widehat {NEO}\) (so le trong)

Suy ra: ∆DMO = ∆ENO (g.c.g) => OD = DE

Vậy MN đi qua trung điểm của DE.

Sachbaitap.com