Câu 6.30 trang 200 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = m\), hãy tính theo m

a) \(\sin \alpha \cos \alpha ;\)

b) \(\left| {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right|;\)

c) \({\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha ;\)

d) \({\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha \).

Giải:

Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = m\), ta có:

a)

\(\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}^2} - 1} \right]\\ = \dfrac{{{m^2} - 1}}{2}\end{array}\)

b)

 \(\begin{array}{l}{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \\ = 1 - \left( {{m^2} - 1} \right) = 2 - {m^2}\end{array}\)

Từ đó \(\left| {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right| = \sqrt {2 - {m^2}} \) (lập luận này cũng chứng tỏ rằng, nếu \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = m\) thì \(2 - {m^2} \ge 0\), tức là ta luôn có \(\left| {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right| \le \sqrt 2 \) ; còn có thể suy ra bất đẳng thức này từ nhiều lập luận khác.)

c)

\(\begin{array}{l}{\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha \\ = {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)\\ = {m^3} - 3\left( {\dfrac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)m = \dfrac{{m\left( {3 - {m^2}} \right)}}{2}\end{array}\)

d)

\(\begin{array}{l}{\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha \\ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\ = 1 - 3{\left( {\dfrac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{ - 3{m^4} + 6{m^2} + 1}}{4}\end{array}\)

Sachbaitap.com