Câu 6.31 trang 200 SBT Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh  rằng:

a) \(\sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}}  + \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = } \dfrac{2}{{\left| {\sin \alpha } \right|}}\)

b) \(\sqrt {\dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }}}  - \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}}  = \dfrac{{2\cos \alpha }}{{\left| {\sin \alpha } \right|}}\).

(Giả sử các biểu thức đã cho đều có nghĩa)

Giải:

a)

\(\begin{array}{l}\sqrt {\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}}  + \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }}} \\ = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}\alpha }}}  + \sqrt {\dfrac{{{{\left( {1 + \cos \alpha } \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \\ = \dfrac{{1 - \cos \alpha  + 1 + \cos \alpha }}{{\left| {\sin \alpha } \right|}} = \dfrac{2}{{\left| {\sin \alpha } \right|}}\end{array}\)

(Chú ý rắng \(\left| {\cos \alpha } \right| \le 1\))

Sachbaitap.com