Câu 6.58 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh:

a) \(\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}};\)

b) \(\cos \dfrac{\pi }{{11}} + \cos \dfrac{{3\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{5\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{7\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{9\pi }}{{11}}\)

\(= \dfrac{1}{2}\)

c) \(\cos \dfrac{{2\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{4\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{6\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{8\pi }}{{11}} + \cos \dfrac{{10\pi }}{{11}}\)

\(=  - \dfrac{1}{2}\)

d) \(\sin \dfrac{\pi }{{11}} + \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} +  \ldots  + \sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.\)

Giải:

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{{2\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{7} - \cos \dfrac{{3\pi }}{7}} \right),\\\sin \dfrac{{4\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{7} - \cos \dfrac{{5\pi }}{7}} \right),\\\sin \dfrac{{6\pi }}{7}\sin \dfrac{\pi }{7} = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{5\pi }}{7} - \cos \pi } \right)\end{array}\)

Từ đó

\(\begin{array}{l}\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7}} \right)\sin \dfrac{\pi }{7}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \cos \dfrac{\pi }{7}} \right) = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}}\end{array}\)

Do \(\sin \dfrac{\pi }{7} = 2\sin \dfrac{\pi }{{14}}\cos \dfrac{\pi }{{14}},\) ta suy ra

\(\sin \dfrac{{2\pi }}{7} + \sin \dfrac{{4\pi }}{7} + \sin \dfrac{{6\pi }}{7} = \dfrac{1}{2}\cot \dfrac{\pi }{{14}}.\)

b) Với \(k = 1,2,3,4,5\) ta có:

\(\cos \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\)

\(= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 2} \right)\pi }}{{11}}} \right]\),

nên nếu gọi B là vế trái của đẳng thức ở câu b) thì

\(\begin{array}{l}B\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{{11}} - \sin 0} \right) + \left( {\sin \dfrac{{4\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{2\pi }}{{11}}} \right)} \right.\\\left. { +  \ldots  + \left( {\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{8\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{10\pi }}{{11}} = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}\)

Từ đó \(B = \dfrac{1}{2}.\)

c) Với \(k = 1,2,3,4,5\) ta có

\(\cos \dfrac{{2k\pi }}{{11}}\sin \dfrac{\pi }{{11}}\)

\(= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{11}}} \right]\) nên gọi C là vế trái của đẳng thức câu c) thì

\(\begin{array}{l}C\sin \dfrac{\pi }{{11}} \\= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\sin \dfrac{{3\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{\pi }{{11}}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{5\pi }}{{11}} - \sin \dfrac{{3\pi }}{{11}}} \right)} \right.\\ +  \ldots  + \left. {\left( {\sin \pi  - \sin \dfrac{{9\pi }}{{11}}} \right)} \right]\\ =  - \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{{11}}.\end{array}\)

Từ đó \(C =  - \dfrac{1}{2}.\)

d) Gọi D là vế trái của bất đẳng thức câu d thì (ở đây \(n = 10,\alpha  = \dfrac{\pi }{{11}}\))

\(D\sin \dfrac{\pi }{{22}} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}}\sin \dfrac{\pi }{2} = \sin \dfrac{{10\pi }}{{22}} = \cos \dfrac{\pi }{{22}}\)

Từ đó \(D = \cot \dfrac{\pi }{{22}}.\)

Sachbaitap.com