Câu 67 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho Đ là phép đối xứng trục có trục đói xứng là đường thẳng d và T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) song song với d. Hợp thành Đ và T gọi là phép đối xứng trượt. Phép đối xứng trục là một trường hợp đặc biệt của phép đối xứng trượt khi vectơ trượt là vectơ không.

a) Chứng minh rằng hợp thành của T và Đ cũng bằng hợp thành của Đ và T.

b) Chứng minh rằng nếu M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trượt thì trung điểm đoạn thẳng MM’ luôn nằm trên trục của phép đối xứng trượt đó.

c) Hợp thành của hai phép đối xứng trượt  có trục song song là phép gì?

d) Chứng minh rằng hợp thành của một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến là một phép đối xứng trượt.

e) Chứng minh rằng hợp thành của một phép quay và một phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.

g) Chứng minh rằng hợp thành của ba phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt.

Trả lời:

a) Giả sử M là một điêmt nào đó, Đ biến M thành M₁ và T biến M₁ thành M’. Như vậy, nếu gọi F là hợp thành của T và Đ thì F biến M thành M’. Nếu ta lấy điểm M₂ sao cho MM₁M’M₂ là hình chữ nhật thì rõ ràng T biến M thành M₂ và Đ biến M₂ thành M’. Vậy F cũng là hợp thành của T và Đ.

b) Hiển nhiên

c)

Giả sử phép đối xứng trượt F có trục d và vectơ trượt \(\overrightarrow v \) , phép đối xứng trượt F’ có trục đối xứng d’ và véc tơ trượt \(\overrightarrow v '\) . Kí hiệu Đ, Đ’ lần lượt là phép đối xứng có trục d và d’, T và T’ lần lượt là các phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \)  và \(\overrightarrow {v'} \) . Như vậy F là hợp thành của T và Đ, F’ là hợp thành của Đ’ và T’. Suy ra hợp thành của F và F’ là hợp thành của bốn phép: T, Đ, Đ’ và T’.

Vì d // d’ nên hợp thành của Đ và Đ’ là một phép tịnh tiến. Vậy hợp thành F và F’ là hợp thành của ba phép tịnh tiến và do đó là môt phép tịnh tiến.

d)

Gọi Đ là phép đối xứng trục, với trục là đường thẳng d, T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) , còn F là hợp thành của Đ và T. Ta có thể tìm được hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) sao cho \(\overrightarrow {{v_1}} \) song song với d, \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d và \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {{v_1}}  + \overrightarrow {{v_2}} \) . Nếu ta gọi T₁ và T₂ lần lượt là các phép tịnh tiến theo các vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) thì T là hợp thành của T₂ và T₁. Nhưng vì \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d nên T₂ có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục D₁ và D₂ có trục song song với d. Tóm lại, F là hợp thành của bốn phép Đ, Đ₁, Đ₂ và T₁. Như đã biết, hợp thành của 3 phép đối xứng trục Đ, Đ₁, Đ₂ (có trục song song) là phép đối xứng của trục Đ₃ có trục song song với d. Vậy F là hợp thành của Đ₃ và T₁ với vectơ tịnh tiến của T₁ song song với trục đối xứng Đ₃, nên F là phép đối xứng trượt.

e)

Giả sử Q là phép quay tâm O và Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, F là hợp thành của Q và Đ. Ta có thể xem phép quay Q là hợp thành của hai phép đối xứng Đ₁ và Đ₂ có các trục đối xứng đi qua O, trong đó trục của Đ₂ song song với d. Như vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: Đ₁, Đ₂ và Đ.

Nhưng hợp thành của Đ₂ và Đ (có trục đối xứng song song) là phép tịnh tiến do đó F là hợp thành của một phép đối xứng và một phép tịnh tiến nên theo câu d), F là phép đối xứng trượt.

g) Suy từ câu d và câu e).

Sachbaitap.com