Câu 67 trang 42 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chú ý rằng vì \({\left( {x + a} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} = 0\) khi \(x =  - a\) nên \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} + b = b\) khi\(x =  - a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \({\left( {x + a} \right)^2} + b\) bằng b khi\(x =  - a\). Áp dụng điều này giải các bài tập sau :

a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức

\({{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

b. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức

\({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) - {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Giải:

a. \({{{x^2}} \over {x - 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} - 4} \right) + 3\) (điều kiện \(x \ne 2\) và \(x \ne 0\) )

\(\eqalign{  &  = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{x^2} + 4 - 4x} \over x} + 3 = {{{x^2}} \over {x - 2}}.{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \over x} + 3  \cr  &  = x\left( {x - 2} \right) + 3 = {x^2} - 2x + 1 + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \cr} \)

Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi giá trị của x

nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi \(x = 1\)

\(x = 1\) thỏa mãn điều kiện

Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại \(x = 1\)

b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 - {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) - {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) (điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne  - 2\))

\(\eqalign{  &  = {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.{{x + 2 - {x^2}} \over {x + 2}} - {{{x^2} + 6x + 4} \over x} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 - {x^2}} \right)} \over x} - {{{x^2} + 6x + 4} \over x}  \cr  &  = {{{x^2} + 2x - {x^3} + 2x + 4 - 2{x^2} - {x^2} - 6x - 4} \over x} = {{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x} \over x}  \cr  &  = {{ - x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over x} =  - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right) =  - \left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1} \right]  \cr  &  =  - \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] =  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1  \cr  & {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow  - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \le  - 1 \cr} \)

nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = - 1

x = - 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = - 1