Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 86 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 86 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng a, cạnh bên \(a\sqrt 6 \). Xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua ∆ và điểm C’.

a) Thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mp(P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

b) Tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD).

Trả lời

 

a) Gọi \(I = C{\rm{D}} \cap \Delta ,J = BC \cap \Delta \),

\({B_1} = C'J \cap BB',{D_1} = C'I \cap {\rm{DD}}'\)

thì thiết diện thu được \(A{B_1}C'{D_1}\).

Dễ thấy \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình bình hành và B1, D1 lần lượt là trung điểm của BB’, DD’.

Từ đó \(A{{\rm{D}}_1} = {D_1}C'\)

Do đó thiết diện \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình thoi.

\(\eqalign{  & {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}{B_1}{D_1},AC'  \cr  & {B_1}{D_1} = B{\rm{D}} = a\sqrt 2   \cr  & AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = 2{{\rm{a}}^2} + 6{{\rm{a}}^2} = 8{{\rm{a}}^2}  \cr  &  \Rightarrow AC' = 2{\rm{a}}\sqrt 2  \cr} \)

Vậy \({S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}a\sqrt 2 .2{\rm{a}}\sqrt 2  = 2{{\rm{a}}^2}.\)

b) Ta có \(AC \bot B{\rm{D}}\) mà ∆ // BD nên \(AC \bot \Delta \).

Mặt khác \(C'C \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên \(AC' \bot \Delta \) (định lí ba đường vuông góc).

Vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(P) và mp(ABCD).

Ta có \(\tan \widehat {C'AC} = {{CC'} \over {AC}} = {{a\sqrt 6 } \over {a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \), từ đó \(\widehat {C'AC} = {60^0}\)

Chú ý. Cũng có thể tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD) bởi công thức

\({S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)

mà \({S_{ABC{\rm{D}}}} = {a^2},{S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)

tức là \(\cos \varphi  = {1 \over 2}\,\,hay\,\,\varphi  = {60^0}\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan