Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng a, cạnh bên \(a\sqrt 6 \). Xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua ∆ và điểm C’.
a) Thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mp(P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.
b) Tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD).
Trả lời
a) Gọi \(I = C{\rm{D}} \cap \Delta ,J = BC \cap \Delta \),
\({B_1} = C'J \cap BB',{D_1} = C'I \cap {\rm{DD}}'\)
thì thiết diện thu được \(A{B_1}C'{D_1}\).
Dễ thấy \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình bình hành và B1, D1 lần lượt là trung điểm của BB’, DD’.
Từ đó \(A{{\rm{D}}_1} = {D_1}C'\)
Do đó thiết diện \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình thoi.
\(\eqalign{ & {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}{B_1}{D_1},AC' \cr & {B_1}{D_1} = B{\rm{D}} = a\sqrt 2 \cr & AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = 2{{\rm{a}}^2} + 6{{\rm{a}}^2} = 8{{\rm{a}}^2} \cr & \Rightarrow AC' = 2{\rm{a}}\sqrt 2 \cr} \)
Vậy \({S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}a\sqrt 2 .2{\rm{a}}\sqrt 2 = 2{{\rm{a}}^2}.\)
b) Ta có \(AC \bot B{\rm{D}}\) mà ∆ // BD nên \(AC \bot \Delta \).
Mặt khác \(C'C \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên \(AC' \bot \Delta \) (định lí ba đường vuông góc).
Vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(P) và mp(ABCD).
Ta có \(\tan \widehat {C'AC} = {{CC'} \over {AC}} = {{a\sqrt 6 } \over {a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \), từ đó \(\widehat {C'AC} = {60^0}\)
Chú ý. Cũng có thể tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD) bởi công thức
\({S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)
mà \({S_{ABC{\rm{D}}}} = {a^2},{S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)
tức là \(\cos \varphi = {1 \over 2}\,\,hay\,\,\varphi = {60^0}\).
Sachbaitap.com
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục