Câu 9 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

9. Trang 51 sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

 Cho ba tia Ox, Oy, Oz. Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A và A’, B và B’, C và C’ sao cho BC cắt B’C’ tại M, CA cắt C’A’ tại N và AB cắt A’B’ tại I. Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng.

Giải

Trường hợp Ox, Oy, Oz không đồng phẳng

Dễ thấy M, N, I là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Vậy ba điểm M, N, I thẳng hàng.

Trường hợp Ox, Oy, Oz thuộc mặt phẳng (P).

Qua O ta dựng một đường thẳng \(\Delta \) không nằm trên mp(P). Trên \(\Delta \) lấy các điểm \({O_1},\,{O_2}.\) Gọi \({A_1}\) là giao điểm của \({O_1}A\) với \({O_2}A',\,{B_1}\) là giao điểm của \({O_1}B\) với \({O_2}B'.\) Dễ chứng minh \({A_1}{B_1},A'B',\,AB\) đồng quy tại I. Tương tự, ta dựng điểm \({C_1}\) là giao điểm của \({O_1}C\) với \({O_2}C'.\) Hai tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) và ABC không nằm trong một mặt phẳng, nên theo câu a) ta được ba điểm M, N, I thẳng hàng.

sachbaitap.com