Chứng minh:
\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)
Từ đó chứng tỏ:
a) Với ba số x, y, z không âm thì \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\)
b) Với ba số a, b, c không âm thì \({{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \) (Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
Gợi ý làm bài
Ta có:
\({1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)
\( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\)
\( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\)
\( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right)\)
\( = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)
\( = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\)
\( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\)
\( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2}\)
\( = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thưc được chứng minh.
a) Nếu \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\) thì:
\(x + y + z \ge 0\)
\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - z} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr} \)
Hay: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\)
b) Nếu \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\) thì \(\root 3 \of a \ge 0,\root 3 \of b \ge 0,\root 3 \of {c \ge 0} \)
Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \) thì x, y, z cũng không âm.
Từ chứng minh trên, ta có: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\)
Hay:
\(\eqalign{
& {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of c } \right)}^3}} \over 3} \ge \left( {\root 3 \of a } \right)\left( {\root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of c } \right) \cr
& \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \)
Sachbaitap.com
>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục