Loigiaihay.com 2020

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 94 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Bình chọn:
4.1 trên 7 phiếu

Chứng minh

Chứng minh:

\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)

Từ đó chứng tỏ:

a) Với ba số x, y, z không âm thì \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\)

b) Với ba số a, b, c không âm thì \({{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \) (Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.

Gợi ý làm bài

Ta có: 

\({1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)

\( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\)

\( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\)

\( = {1 \over 2}\left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right)\)

\( = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

\( = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\)

       \( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\)

       \( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2}\)

\( = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thưc được chứng minh.

a) Nếu \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\) thì:

\(x + y + z \ge 0\)

\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - z} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra: 

\(\eqalign{
& {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr} \)

Hay: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\)

b) Nếu \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\) thì \(\root 3 \of a  \ge 0,\root 3 \of b  \ge 0,\root 3 \of {c \ge 0} \)

Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \) thì x, y, z cũng không âm.

Từ chứng minh trên, ta có: \({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} \over 3} \ge xyz\)

Hay:

\(\eqalign{
& {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of c } \right)}^3}} \over 3} \ge \left( {\root 3 \of a } \right)\left( {\root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of c } \right) \cr
& \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Bài viết liên quan