Loigiaihay.com 2020

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 96 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Bình chọn:
3.5 trên 17 phiếu

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. 

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.

c) Tính diện tích tứ giác DENM.

Gợi ý làm bài

a) Ta có: 

\(HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \)

\(HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \)

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:

\(\eqalign{
& A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \cr
& \Rightarrow AH = 6\,(cm) \cr} \)

Vậy DE = 6 (cm)

b) * Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra tam giác GHD cân tại G

Ta có:

\(\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,(1)\)

\(\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,(2)\)

\(\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,(4)\)

Suy ra tam giác MDH cân tại M \( \Rightarrow MD = MH\,(5)\)

Lại có: \(\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,(6)\)

\(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \) (∆BDH vuông tại D) (7)

Từ (4), (6) và (7) suy ra: \(\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\)

Suy ra tam giác MBD cân tại M \( \Rightarrow MB = MD\,(8)\)

 Từ (5) và (8) suy ra: MB = MH hay M là trung điểm của BH.

*Tam giác GHE cân tại G

Ta có: \(\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,(9)\)

\(\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \) (10)

\(\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (11)

Từ (9), (10) và (11) suy ra: \(\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\) (12)

Suy ra tam giác NEH cân tại N \( \Rightarrow NE = NH\) (13)

Lại có: \(\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (14)

\(\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \) (∆CEH vuông tại E) (15)

Từ (12), (14) và (15) suy ra: \(\widehat {NDC} = \widehat {NCE}\)

Suy ra tam giác NCE cân tại N \( \Rightarrow NC = NE\,(16)\)

Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.

c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

\(DM = {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2\,(cm)\)

Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên

\(EN = {1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5\,(cm)\)

Mà \(MD \bot DE\) và \(NE \bot DE\) nên MD // NE

Suy ra tứ giác DENM  là hình thang

Vậy 

\(\eqalign{
& {S_{DENM}} = {{DM + NE} \over 2}.DE \cr
& = {{2 + 4,5} \over 2}.6 = 19,5cm^2. \cr} \) 

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Bài viết liên quan