Bài 10 trang 6 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho $n$ điểm trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là $A_1, A_2,…,A_n$. Bạn Bình kí hiệu chúng là $B_1, B_2,…, B_n$. Chứng minh rằng

$\overrightarrow {{A_1}{B_1}}  + \overrightarrow {{A_2}{B_2}}  + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}}  = \overrightarrow 0$.

Giải

Lấy một điểm $O$ bất kì ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{A_1}{B_1}}  + \overrightarrow {{A_2}{B_2}}  + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} \\ = \overrightarrow {O{B_1}}  - \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{B_2}}  - \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{B_n}}  - \overrightarrow {O{A_n}} \\ = (\overrightarrow {O{B_1}}  + \overrightarrow {O{B_2}}  + ... + \overrightarrow {O{B_n}} ) - (\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} )\end{array}$

Vì $n$ điểm $B_1,B_2,...B_n$ cũng là $n$ điểm $A_1, A_2,…,A_n$ nhưng kí hiệu một cách khác, cho nên ta có

$\overrightarrow {O{B_1}}  + \overrightarrow {O{B_2}}  + ... + \overrightarrow {O{B_n}}$

$= \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}}$

 Suy ra $\overrightarrow {{A_1}{B_1}}  + \overrightarrow {{A_2}{B_2}}  + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}}  = \overrightarrow 0$.

Sachbaitap.com