Bài 10 trang 6 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho \(n\) điểm trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là \(A_1, A_2,…,A_n\). Bạn Bình kí hiệu chúng là \(B_1, B_2,…, B_n\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {{A_1}{B_1}}  + \overrightarrow {{A_2}{B_2}}  + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}}  = \overrightarrow 0 \).

Giải

Lấy một điểm \(O\) bất kì ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{A_1}{B_1}}  + \overrightarrow {{A_2}{B_2}}  + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} \\ = \overrightarrow {O{B_1}}  - \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{B_2}}  - \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{B_n}}  - \overrightarrow {O{A_n}} \\ = (\overrightarrow {O{B_1}}  + \overrightarrow {O{B_2}}  + ... + \overrightarrow {O{B_n}} ) - (\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} )\end{array}\)

Vì \(n\) điểm \(B_1,B_2,...B_n\) cũng là \(n\) điểm \(A_1, A_2,…,A_n\) nhưng kí hiệu một cách khác, cho nên ta có

\(\overrightarrow {O{B_1}}  + \overrightarrow {O{B_2}}  + ... + \overrightarrow {O{B_n}}\)

\(  = \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} \)

 Suy ra \(\overrightarrow {{A_1}{B_1}}  + \overrightarrow {{A_2}{B_2}}  + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}}  = \overrightarrow 0 \).

Sachbaitap.com