Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )

a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = {{n\left( {3n + 1} \right)} \over 2};\)     

b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).\)    

Giải:

a)      Đặt vế trái bằng S_n. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có \({S_k} = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2}\) với \(k \ge 1\). 

Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}\)

Thật vậy

\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1 \cr
& = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2} + 3k + 2 \cr
& = {{3{k^2} + k + 6k + 4} \over 2} \cr
& = {{3{k^2} + 7k + 4} \over 2} \cr
& {\rm{ = }}{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}{\rm{ }}\left( {đpcm} \right) \cr} \)

b)      Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).