Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 23 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 23 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hình vuông \(ABCD\), điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AM = \dfrac{{AC}}{4}\). Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\). Chứng minh rằng \(BMN\) là tam giác vuông cân.

Giải

 

Đặt \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow a  ,  \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b .\) Khi đó, ta có

\(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC}  = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ),\)

\(  \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}.\)

Từ đó suy ra

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM}\\  = \overrightarrow b  - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\ = \dfrac{1}{4}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b ).\\\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}\\  = \overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{4}(3\overrightarrow a  + \overrightarrow b ).\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}\\  = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b )(3\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\= \dfrac{1}{{16}}\left( { - 3\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  + 8\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 0.\\{\overrightarrow {MB} ^2} = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{{16}}({\overrightarrow a ^2} + 9{\overrightarrow b ^2} - 6\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\\{\overrightarrow {MN} ^2} = \dfrac{1}{{16}}{\left( {3\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}\\ = \dfrac{1}{{16}}\left( {9{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 6\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\\ = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\end{array}\)

Vậy \(MB \bot MN\) và \(MB=MN\), tam giác \(BMN\) vuông cân tại đỉnh \(M.\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan