Bài 26 trang 42 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho \(n\) điểm  \(A_1, A_2, …,A_n\)  và \(n\) số \(k_1, k_2,…,k_n\) với \({k_1} + {k_2} + ... + {k_n} = k  (k \ne 0).\)

a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm \(G\) sao cho

\({k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}}  = \overrightarrow 0 \).

b) Tìm quỹ tích những điểm \(M\) sao cho: \({k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = m\), trong đó \(m\) là một số không đổi.

Giải

a) Lấy một điểm \(O\) bất kì thì đẳng thức

\({k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}}  = \overrightarrow 0\)            (1)

tương đương với 

\({k_1}\left( {\overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OG} } \right) + {k_2}\left( {\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OG} } \right) \) \(+  \ldots  + {k_n}\left( {\overrightarrow {O{A_n}}  - \overrightarrow {OG} } \right) = \overrightarrow 0 \)

Hay \(\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{k}(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ).\)

Điều đó chứng tỏ rằng có điểm \(G\) thỏa mãn (1).

Giả sử điểm G’ củng thỏa mãn \({k_1}\overrightarrow {G'{A_1}}    + {k_2}\overrightarrow {G'{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G'{A_n}}  = \overrightarrow 0   \)         (2)

Bằng cách trừ theo vế (1) cho (2) ta được \(k.\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \), suy ra \(\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \) hay \(G’\) trùng với \(G\).  (Điểm \(G\) được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm \(\left\{ {{A_1},{A_2}, \ldots {A_n}} \right\}\) gắn với các hệ số \({k_1},{k_2} \ldots {k_n}\)).

b) Với mọi điểm \(M\), ta có

\(\begin{array}{l}{k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = m\\ \Leftrightarrow  {k_1}{\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {k_2}{\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + ... + {k_n}{\overrightarrow {M{A_n}} ^2} = m\\ \Leftrightarrow  {k_1}{\left( {\overrightarrow {G{A_1}}  - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {k_2}{\left( {\overrightarrow {G{A_2}}  - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + ... + {k_n}{\left( {\overrightarrow {G{A_n}}  - \overrightarrow {GM} } \right)^2} = m\\ \Leftrightarrow   {k_1}GA_1^2 + {k_2}GA_2^2 + ... + {k_n}GA_n^2 + kG{M^2} - 2\overrightarrow {GM} \left( {{k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} } \right) = m.\end{array}\)

Ta đặt

\({k_1}GA_1^2 + {k_2}GA_2^2 + ... + {k_n}GA_n^2 = s\) thì đẳng thức trên tương đương với \(s + kG{M^2} = m\) hay \(G{M^2} = \dfrac{{m - s}}{k}\). Từ đó suy ra

Nếu \(\dfrac{{m - s}}{k} > 0\) thì quỹ tích các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\), bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{{m - s}}{k}} \).

Nếu \(m - s = 0\) thì quỹ tích các điểm \(M\) là một điểm \(G\).

Nếu \(\dfrac{{m - s}}{k} > 0\)thì quỹ tích các điểm M là tập rỗng.

Chú ý: Khi \({k_1} + {k_2} + ... + {k_n} = k = 0\) thì hệ điểm \(\left\{ {{A_1},{A_2}, \ldots {A_n}} \right\}\) không có tâm tỉ cự, song vec tơ \(\overrightarrow u  = {k_1}\overrightarrow {O{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} \) không phụ thuộc vào việc chọn điểm \(O\). Thực vậy, với điểm \(O’\) khác điểm \(O\), ta có

\(\begin{array}{l}     {k_1}\overrightarrow {O'{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O'{A_2}}  + .. + {k_n}\overrightarrow {O'{A_n}} \\ = ({k_1} + {k_2} + ... + {k_n})\overrightarrow {O'O}  + {k_1}\overrightarrow {O{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}}  = \overrightarrow u \end{array}\)

Bây giờ chọn một điểm \(O\) nào đó, ta có

\(\begin{array}{l}{k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = m\\ \Leftrightarrow   {k_1}{\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {k_2}{\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + ... + {k_n}{\overrightarrow {MA_n^{}} ^2} = m\\ \Leftrightarrow   {k_1}{\left( {\overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OM} } \right)^2} + {k_2}{\left( {\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OM} } \right)^2} + ... + {k_n}{\left( {\overrightarrow {O{A_n}}  - \overrightarrow {OM} } \right)^2} = m\\ \Leftrightarrow   {k_1}OA_1^2 + {k_2}OA_2^2 + ... + {k_n}OA_n^2 - 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow u  = m.\end{array}\)

Đặt \({k_1}OA_1^2 + {k_2}OA_2^2 + ... + {k_n}OA_n^2 = s\) thì đẳng thức trên trở thành :\(2\overrightarrow u .\overrightarrow {OM}  = s - m\).

Bởi vậy:

Nếu \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) và \(s=m\) thì quỹ tích các điểm \(M\) là toàn bộ mặt phẳng.

Nếu \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) và \(s \ne m\) thì quỹ tich các điểm \(M\) là tập rỗng.

Nếu \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) thì quỹ tích các điểm \(M\) là một đường thẳng vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow u \).

Sachbaitap.com