Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 26 trang 42 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4 trên 3 phiếu

Giải bài tập Bài 26 trang 42 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho \(n\) điểm  \(A_1, A_2, …,A_n\)  và \(n\) số \(k_1, k_2,…,k_n\) với \({k_1} + {k_2} + ... + {k_n} = k  (k \ne 0).\)

a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm \(G\) sao cho

\({k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}}  = \overrightarrow 0 \).

b) Tìm quỹ tích những điểm \(M\) sao cho: \({k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = m\), trong đó \(m\) là một số không đổi.

Giải

a) Lấy một điểm \(O\) bất kì thì đẳng thức

\({k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}}  = \overrightarrow 0\)            (1)

tương đương với 

\({k_1}\left( {\overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OG} } \right) + {k_2}\left( {\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OG} } \right) \) \(+  \ldots  + {k_n}\left( {\overrightarrow {O{A_n}}  - \overrightarrow {OG} } \right) = \overrightarrow 0 \)

Hay \(\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{k}(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ).\)

Điều đó chứng tỏ rằng có điểm \(G\) thỏa mãn (1).

Giả sử điểm G’ củng thỏa mãn \({k_1}\overrightarrow {G'{A_1}}    + {k_2}\overrightarrow {G'{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G'{A_n}}  = \overrightarrow 0   \)         (2)

Bằng cách trừ theo vế (1) cho (2) ta được \(k.\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \), suy ra \(\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \) hay \(G’\) trùng với \(G\).  (Điểm \(G\) được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm \(\left\{ {{A_1},{A_2}, \ldots {A_n}} \right\}\) gắn với các hệ số \({k_1},{k_2} \ldots {k_n}\)).

b) Với mọi điểm \(M\), ta có

\(\begin{array}{l}{k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = m\\ \Leftrightarrow  {k_1}{\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {k_2}{\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + ... + {k_n}{\overrightarrow {M{A_n}} ^2} = m\\ \Leftrightarrow  {k_1}{\left( {\overrightarrow {G{A_1}}  - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {k_2}{\left( {\overrightarrow {G{A_2}}  - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + ... + {k_n}{\left( {\overrightarrow {G{A_n}}  - \overrightarrow {GM} } \right)^2} = m\\ \Leftrightarrow   {k_1}GA_1^2 + {k_2}GA_2^2 + ... + {k_n}GA_n^2 + kG{M^2} - 2\overrightarrow {GM} \left( {{k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} } \right) = m.\end{array}\)

Ta đặt

\({k_1}GA_1^2 + {k_2}GA_2^2 + ... + {k_n}GA_n^2 = s\) thì đẳng thức trên tương đương với \(s + kG{M^2} = m\) hay \(G{M^2} = \dfrac{{m - s}}{k}\). Từ đó suy ra

Nếu \(\dfrac{{m - s}}{k} > 0\) thì quỹ tích các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\), bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{{m - s}}{k}} \).

Nếu \(m - s = 0\) thì quỹ tích các điểm \(M\) là một điểm \(G\).

Nếu \(\dfrac{{m - s}}{k} > 0\)thì quỹ tích các điểm M là tập rỗng.

Chú ý: Khi \({k_1} + {k_2} + ... + {k_n} = k = 0\) thì hệ điểm \(\left\{ {{A_1},{A_2}, \ldots {A_n}} \right\}\) không có tâm tỉ cự, song vec tơ \(\overrightarrow u  = {k_1}\overrightarrow {O{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} \) không phụ thuộc vào việc chọn điểm \(O\). Thực vậy, với điểm \(O’\) khác điểm \(O\), ta có

\(\begin{array}{l}     {k_1}\overrightarrow {O'{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O'{A_2}}  + .. + {k_n}\overrightarrow {O'{A_n}} \\ = ({k_1} + {k_2} + ... + {k_n})\overrightarrow {O'O}  + {k_1}\overrightarrow {O{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}}  = \overrightarrow u \end{array}\)

Bây giờ chọn một điểm \(O\) nào đó, ta có

\(\begin{array}{l}{k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = m\\ \Leftrightarrow   {k_1}{\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {k_2}{\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + ... + {k_n}{\overrightarrow {MA_n^{}} ^2} = m\\ \Leftrightarrow   {k_1}{\left( {\overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OM} } \right)^2} + {k_2}{\left( {\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OM} } \right)^2} + ... + {k_n}{\left( {\overrightarrow {O{A_n}}  - \overrightarrow {OM} } \right)^2} = m\\ \Leftrightarrow   {k_1}OA_1^2 + {k_2}OA_2^2 + ... + {k_n}OA_n^2 - 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow u  = m.\end{array}\)

Đặt \({k_1}OA_1^2 + {k_2}OA_2^2 + ... + {k_n}OA_n^2 = s\) thì đẳng thức trên trở thành :\(2\overrightarrow u .\overrightarrow {OM}  = s - m\).

Bởi vậy:

Nếu \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) và \(s=m\) thì quỹ tích các điểm \(M\) là toàn bộ mặt phẳng.

Nếu \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) và \(s \ne m\) thì quỹ tich các điểm \(M\) là tập rỗng.

Nếu \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) thì quỹ tích các điểm \(M\) là một đường thẳng vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow u \).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan