Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 29 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 29 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hai đường thẳng \(AB, CD\) cắt nhau ở điểm \(M\). Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} .\)

Giải

Nếu \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn \((C)\) thì \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} ,\,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \) cũng bằng phương tích của điểm \(M\) đối với đường tròn \((C)\) nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \)

Ngược lại, vẽ đường tròn qua ba điểm \(A, B, C\) và giả sử đường tròn đó cắt đường thẳng \(CD\) ở điểm \(D’\) khác \(C\). Khi đó ta có \(A, B, C, D’\) cùng thuộc một đường tròn nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD'} \)

Nếu có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \) thì \(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD'} \), suy ra \(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {DD'}  = 0\). Do \(\overrightarrow {MC}  \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {DD'} \) cùng phương với \(\overrightarrow {MC} \) nên \(\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow 0 \) hay \(D, D’\) trùng nhau. Vậy \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan