Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 31 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

Giải bài tập Bài 31 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hai đường tròn không đồng tâm \((O ; R)\) và \((O’ ; R’)\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \({\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O' ; R')}}.\)

Giải

\(\begin{array}{l}{\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O' ; R')}}\\ \Leftrightarrow   M{O^2} - {R^2} = MO{'^2} - R{'^2}\\ \Leftrightarrow   {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {MO'} ^2} = {R^2} - R{'^2}\\ \Leftrightarrow   \left( {\overrightarrow {MO}  - \overrightarrow {MO'} } \right).\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {MO'} } \right)\\ = {R^2} - R{'^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow   2\overrightarrow {O'O} .\overrightarrow {MI}  = {R^2} - R{'^2}\), trong đó \(I\) là trung điểm  của \(OO’\).

Lấy \(H\) là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(OO’\), ta có

\( \overrightarrow {O'O} .\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {O'O} .\overrightarrow {HI}  = \overrightarrow {OO'} .\overrightarrow {IH} .\)

Từ đó suy ra \(\overline {IH}  = \dfrac{{{R^2} - R{'^2}}}{{2\overline {OO'} }}\) không đổi nên \(H\) là điểm cố định.

Vậy \({\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O' ; R')}}\) khi và chỉ khi thuộc đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(OO’\) tại điểm cố định \(H\).

Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đã cho.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan