Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 28 trang 42 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 28 trang 42 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho điểm \(O\) bất kì nằm trong tam giác \(A_1A_2A_3\). Gọi \(B_1­, B_2, B_3\) lần lượt là hình chiếu của \(O\) trên \(A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1\). Đặt

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{a_1}}  = {A_1}{A_2}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_1}} }}{{O{B_1}}} ,\\\overrightarrow {{a_2}}  = {A_2}{A_3}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_2}} }}{{O{B_2}}} ,\\\overrightarrow {{a_3}}  = {A_3}{A_1}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_3}} }}{{O{B_3}}} .\end{array}\)

Chứng minh rằng \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}}  = \overrightarrow 0 \).

Chú ý: kết quả trên đúng với đa giác \(A_1A_2…A_n\)  bất kì (định lí Con Nhím). Trên hình 23, \(|\overrightarrow {{a_k}} | = {A_k}{A_{k + 1}}\) ( xem  \({A_{n + 1}} \equiv {A_1}\)), \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + ... + \overrightarrow {{a_n}}  = \overrightarrow 0 \) (các vec tơ \(\overrightarrow {{a_k}} \) được gọi là các “ lông nhím”).

Giải

(h.37).

 

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} } \right).\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \\ = \left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} } \right).\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \\= \left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} } \right)\left( {\overrightarrow {{A_1}{A_3}}  - \overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right)\\= \overrightarrow {{a_2}} .\overrightarrow {{A_1}{A_3}}  - \overrightarrow {{a_3}} .\overrightarrow {{A_2}{A_3}} \\= |\overrightarrow {{a_2}} |{A_1}{A_3}.\cos \left( {\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{A_1}{A_3}} } \right) \\- |\overrightarrow {{a_3}} |.{A_2}{A_3}.\cos \left( {\overrightarrow {{a_3}} ,\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right).\\\end{array}\)

Theo giả thiết \(|\overrightarrow {{a_2}} | = {A_2}{A_3} ,  |\overrightarrow {{a_3}} | = {A_1}{A_3}\).

Ngoài ra dễ thấy \(\cos \left( {\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{A_1}{A_3}} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{a_3}} ,\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right).\)

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} } \right).\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = 0\). Do đó, vec tơ \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} \) vuông góc với đường thẳng \(A_1A_2\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có vec tơ \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}} \) vuông góc với đường thẳng \(A_2A_3\).

Vậy \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{a_3}}  = 0\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan