Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 25 trang 42 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 25 trang 42 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) và một điểm \(M\) sao cho các góc \(AMB, BMC, CMA\) đều bằng \(120^0\). Các đường thẳng \(AM, BM, CM\) cắt đường tròn \((O)\) lần lượt tại \(A’, B’, C’\). Chứng minh rằng:

\(MA+MB+MC\)\(=MA’+MB’+MC’.\)

Giải

(h.35).

 

Lấy các điểm \(A_1, B_1, C_1\) sao cho \(\overrightarrow {M{A_1}}  = \dfrac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}};\)  \(  \overrightarrow {M{B_1}}  = \dfrac{{\overrightarrow {MB} }}{{MB}};\) \(\overrightarrow {M{C_1}}  = \dfrac{{\overrightarrow {MC} }}{{MC}} \), khi đó cả ba vec tơ trên đều có độ  dài bằng 1, mà góc giữa hai vectơ bất kì trong chúng đều bằng \(120^0\) nên \(M\) là tâm của tam giác đều \(A_1 B_1 C_1\).

Theo bài 24, ta có

\(2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MO}\)

\(  = MA(MA - MA')\), suy ra \(2\dfrac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}}.\overrightarrow {MO} \)

\(= MA - MA'\),

hay \(2\overrightarrow {M{A_1}} .\overrightarrow {MO}  = MA - MA'\).

Tương tự

\(2\overrightarrow {M{B_1}} .\overrightarrow {MO}  = MB - MB',\)  \( 2\overrightarrow {M{C_1}} .\overrightarrow {MO}  = MC - MC'.\)

Từ đó ta có

\(MA + MB + MC\)\( - MA' - MB' - MC' \)

\(= 2(\overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{C_1}} ).\overrightarrow {MO}  = 0\)

Hay

\(MA + MB + MC\)\( = MA' + MB' + MC'\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan