Bài 2.6 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình

a) cos 3x - sin 2x = 0

b) tanx. tan 2x =  - 1   

c) sin 3x + sin 5x = 0    

d) cot 2x. cot 3x = 1

Giải:

a) 

\(\eqalign{
& \cos 3x - \sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3x = \pm \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) + k2\pi ,k \in Z \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = {\pi  \over {10}} + {{k2\pi } \over 5},k \in Z\) và \(x =  - {\pi  \over 2} + k2\pi ,k \in Z\)

b) Điều kiện của phương trình: cos x ≠ 0 và cos2x ≠ 0

\(\eqalign{
& \tan x.\tan 2x = - 1 \cr
& \Rightarrow \sin x.\sin 2x = - \cos x.\cos 2x \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos x + \sin 2x.\sin x = 0 \cr
& \Rightarrow \cos x = 0 \cr} \)

Kết hợp với điều kiênh ta thấy phương trình vô nghiệm.

c) 

\(\eqalign{
& \sin 3x + \sin 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 4x.\cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 4x = 0 \hfill \cr
\cos x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = {{k\pi } \over 4},k \in Z{\rm{ }}\) và \(x = {\pi  \over 2} + k\pi ,k \in Z\)

d) Điều kiện: sin2x ≠ 0 và sin 3x ≠ 0

\(\eqalign{
& \cot 2x.\cot 3x = 1 \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos 3x = \sin 2x.\sin 3x \cr
& \Rightarrow \cos 2x.\cos 3x - \sin 2x.\sin 3x = 0 \cr
& \Rightarrow \cos 5x = 0 \Rightarrow 5x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \cr
& \Rightarrow x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5},k \in Z \cr} \)

Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì

\(\eqalign{
& x = {\pi \over {10}} + \left( {2 + 5m} \right).{\pi \over 5} \cr
& = {\pi \over {10}} + {{2\pi } \over 5} + m\pi \cr
& = {\pi \over 2} + m\pi ,m \in Z \cr} \)

Lúc đó \(\sin 2x = \sin \left( {\pi  + 2m\pi } \right) = 0\), không thỏa mãn điều kiện.

Có thể suy ra nghiệm phương trình là \(x = {\pi  \over {10}} + {{k\pi } \over 5},k \in Z\) và k ≠ 2 + 5m, m ∈ Z