Bài 27 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho ba điểm \(A(2 ; 0), B(4 ; 1), C(1 ; 2).\)

a) Chứng minh rằng \(A, B, C\) là ba đỉnh của  một tam giác.

b) Viết phương trình đường phân giác trong của góc \(A.\)

c) Tìm tọa độ tâm \(I\) của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\)

Giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = (2 ; 1),  \overrightarrow {AC}  = ( - 1 ; 2)\), \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương . Do đó \(A, B, C\) không thẳng hàng và là ba đỉnh của một tam giác.

b) Phương trình đường thẳng \(AB\): \(x-2y-2=0.\)

Phương trình đường thẳng \(AC\): \(2x+y-4=0.\)

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(A\) là

\( \dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} =  \pm  \dfrac{{2x + y - 4}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}\)

\(\Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}x + 3y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\3x - y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Thay lần lượt tọa độ của \(B\) và \(C\) vào vế trái của (1) ta được

\(4 + 3.1 - 2 = 5 ;\) \(  1 + 3.2 - 2 = 5\).

Do đó \(B, C\) cùng phía đối với đường thẳng có phương trình (1), vậy phương trình đường phân giác trong của góc \(A\) là  \(3x-y-6=0.\)

c) \(\overrightarrow {BC}  = ( - 3 ; 1)\). Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(x+3y-7=0.\)

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(B\) là

\( \dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} =  \pm  \dfrac{{x + 3y - 7}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}\)

\(\Leftrightarrow     \left[ \begin{array}{l}(\sqrt 2  - 1)x - (2\sqrt 2  + 3)y + 7 - 2\sqrt 2  = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\(\sqrt 2  + 1)x + (3 - 2\sqrt 2 )y - 7 - 2\sqrt 2  = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Thay lần lượt tọa độ của \(A\) và \(C\) vào vế trái của (3) ta được:

\((\sqrt 2  - 1).2 + 7 - 2\sqrt 2  = 5 ;\) \(     (\sqrt 2  - 1).1 - (2\sqrt 2  + 3).2 + 7 - 2\sqrt 2  =  - 5\sqrt 2. \)

Suy ra phương trình đường phân giác trong của góc \(B\) là

\((\sqrt 2  - 1)x - (2\sqrt 2  + 3)y + 7 - 2\sqrt 2  = 0.\)

Tâm \(I\) của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác trong. Tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 6 = 0\\(\sqrt 2  - 1)x - (2\sqrt 2  + 3)y + 7 - 2\sqrt 2  = 0\end{array} \right. \)

\(  \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}x =  \dfrac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\\y =  \dfrac{3}{{2 + \sqrt 2 }}\end{array} \right.\).

Vậy \(I = \left( { \dfrac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }} ;  \dfrac{3}{{2 + \sqrt 2 }}} \right)\).

Sachbaitap.com