Bài 3.1 trang 168 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x}\)

Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

Giải:

a) 

\(f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x} = \left\{ \matrix{
x - 1,\,{\rm{ nếu }}\,\,x > 0 \hfill \cr
1 - x,\,{\rm{ nếu\,\, x < 0}} \hfill \cr} \right.\) Hàm số này có tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

b)

Từ đồ thị (H.7) dự đoán \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\;\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,

- Với \(x > 0,f\left( x \right) = x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)

- Với \(x < 0,f\left( x \right) = 1 - x\) cũng làhàmđa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)

Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) =  - 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1\)