Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

a)  \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx} \)

b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \)

c)   \(\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \)                                                               

d) \(\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx} \)

e) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \)

g) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)

h) \(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx\)

i) \(\int\limits_1^e {{{1 + x\ln x} \over x}} {e^x}dx\)

Hướng dẫn làm bài

a)  \( - {1 \over 2}\)                  

b)  \({1 \over 4}({3 \over 4} - {{\ln 2} \over 2})\)                           

c) \({3 \over 2}\ln 3 - 1\)                   

d) \(3\ln 3 - 6\ln 2\)

e) \({3 \over 2}{e^{{5 \over 2}}}\) .

HD: \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx = } \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}} dx + \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \)

Tính tích phân từng phần: \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}dx = x{e^{x + {1 \over x}}}\left| {\matrix{2 \cr {{1 \over 2}} \cr} } \right.} - \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \)

g)  \({\pi  \over 6} - {2 \over 9}\) 

HD: Đặt  \(u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx\)

h) \({e \over 2} - 1\). HD:  \(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx}  - \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}dx} \) và tính tích phân từng phần : 

\(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = {{ - {e^x}} \over {1 + x}}\left| {\matrix{
1 \cr 0 \cr} + } \right.\int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx} \)

i) e^e  . HD: Tương tự câu g)

Sachbaitap.com