Bài 3.13 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau đây:

a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {(x + 1)\cos (x + {\pi  \over 2}} )dx\)                                                       

b) \(\int\limits_0^1 {{{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{{\log }_2}(x + 1)dx} \)

c) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{x^2} - 1} \over {{x^4} + 1}}} dx\)  (đặt \(t = x + {1 \over x}\))                                               

d)\(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}}} \)

Hướng dẫn làm bài

a) – 2                          

b) \({1 \over {2\ln 2}}({1 \over 2} + {\ln ^2}2)\) . HD:\({{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{\log _2}(x + 1) = {1 \over {\ln 2}}{\rm{[}}x\ln (x + 1) + {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}}{\rm{]}}\)

c)\({1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\)   . HD: Đặt \(t = x + {1 \over x}\)  , ta nhận được:

\(\int\limits_{{5 \over 2}}^2 {{{dt} \over {{t^2} - 2}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}} \ln |{{t - \sqrt 2 } \over {t + \sqrt 2 }}|\left| {\matrix{2 \cr {{5 \over 2}} \cr} } \right. = {1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\)

d) \(\ln 2 - {1 \over 2}\)   . HD: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}} = } \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin x.{{d(\sin x + 1)} \over {{{(\sin x + 1)}^2}}}}  = \ln 2 - {1 \over 2}\)

Sachbaitap.com