Bài 32 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình đường thẳng

a) Qua \(A(-2 ; 0)\) và tạo với đường thẳng \(d: x+3y-3=0\) một góc \(45^0\).

b) Qua \(B(-1 ; 2)\) và tạo với đường thẳng \(d: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 2t\end{array} \right.\) một góc 60⁰.

Giải

a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(-2 ; 0)\) có phương trình:

\(\alpha (x + 2) + \beta y = 0\) hay \(\alpha x + \beta y + 2\alpha  = 0  ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\).

\(\Delta \) tạo với \(d\) góc \(45^0\)

 \(\cos {45^0} =  \dfrac{{|\alpha  + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}\)

\(\Leftrightarrow    \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} =  \dfrac{{|\alpha  + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 5({\alpha ^2} + {\beta ^2}) = {(\alpha  + 3\beta )^2}\\\Leftrightarrow  2{\alpha ^2} - 3\alpha \beta  - 2{\beta ^2} = 0  \\  \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l}\alpha  = 2\beta \\\alpha  =  -  \dfrac{1}{2}\beta .\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(\alpha  = 2\beta \), chọn \(\beta  = 1, \alpha  = 2\) ta được đường thẳng \({\Delta _1}: 2x + y + 4 = 0\).

Với \(\alpha  =  -  \dfrac{1}{2}\beta \), ta chọn \(\beta  =  - 2, \alpha  = 1\), ta được đường thẳng \({\Delta _2}: x - 2y + 2 = 0\).

b) Gọi \(\overrightarrow u (a ; b)\) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm (\({a^2} + {b^2} \ne 0\)). \(d\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = (3 ;  - 2)\).

\(\Delta \) tạo với d góc 60⁰ khi và chỉ khi 

\(\cos {60^0} =  \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow     \dfrac{1}{2} =  \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \\   \Leftrightarrow    13({a^2} + {b^2}) = 4{(3a - 2b)^2}\\ \Leftrightarrow   23{a^2} - 48ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}a =  \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b\\a =  \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(a =  \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b\), chọn \(b = 1, a =  \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}\), ta được đường thẳng

\({\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 +  \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

Với \(a =  \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b\), ta chọn \(b = 1, a =  \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}\), ta được đường thẳng

\({\Delta _2}: \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 +  \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).

Sachbaitap.com