Bài 3.65 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b)  với a > 0 và b> 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’.

Xác định tỉ số \({a \over b}\)   để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Mặt phẳng (A’BD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \overrightarrow {BD}  \wedge \overrightarrow {BA'}  = (ab;ab;{a^2})\)

Mặt phẳng (BDM) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \overrightarrow {BD}  \wedge \overrightarrow {BM}  = ({{ab} \over 2};{{ab} \over 2}; - {a^2})\)

Ta có  \((BDM) \bot (A'BD) \Leftrightarrow  \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \)

\(\Leftrightarrow  {{{a^2}{b^2}} \over 2} + {{{a^2}{b^2}} \over 2} - {a^4} = 0\)

\(\Leftrightarrow  a = b \Leftrightarrow  {a \over b} = 1\)

Sachbaitap.com