Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 37 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 37 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác \(ABC\) với các cạnh \(AB=c, BC=a, CA=b.\)

a) Gọi \(CM\) là đường phân giác trong của góc \(C\). Hãy biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {CM} \) theo các vec tơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {CB} \).

b) Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng

\(a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Giải

(h.19).

 

a) Theo tính chất đường phân giác , ta có

\(\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{{CA}}{{CB}} = \dfrac{b}{a}\), suy ra \(\overrightarrow {MA}  =  - \dfrac{b}{a}\overrightarrow {MB} \).

Từ đó , ta có \(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow {CA}  + \dfrac{b}{a}\overrightarrow {CB} }}{{1 + \dfrac{b}{a}}}\)

\(= \dfrac{a}{{a + b}}\overrightarrow {CA}  + \dfrac{b}{{a + b}}\overrightarrow {CB} .\)

b) Vì \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) nên \(AI\) là phân giác của tam giác \(ACM\). Bởi vậy theo câu a), ta có biểu thị vec tơ \(\overrightarrow {AI} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = \dfrac{{AC}}{{AC + AM}}\overrightarrow {AM}  + \dfrac{{AM}}{{AC + AM}}\overrightarrow {AC}\\  = \dfrac{b}{{b + \dfrac{{bc}}{{a + b}}}}.\dfrac{b}{{a + b}}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{{\dfrac{{bc}}{{a + b}}}}{{b + \dfrac{{bc}}{{a + b}}}}\overrightarrow {AC} \\ = \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {AC}\\  = \dfrac{b}{{a + b + c}}(\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IA} ) + \dfrac{c}{{a + b + c}}(\overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA} ).\end{array}\)

Suy ra

\(\left( {1 - \dfrac{{b + c}}{{a + b + c}}} \right)\overrightarrow {IA}  + \dfrac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {IB}  + \dfrac{c}{{a + b + c}}\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,\,a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 .\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan