Bài 44 trang 45 SBT Hình học 10 Nâng cao

Chứng minh rằng: Trong tam giác, trung điểm các cạnh, chân các đường cao cùng thuộc một đường tròn \((\omega )\) và đường tròn  \((\omega )\) cũng đi qua trung điểm của các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh với trực tâm tam giác (đường tròn chín điểm  hay đường tròn Ơ-le của tam giác).

Giải

Giả sử tam giác \(ABC\) có \(AA' \bot BC\) và \(M, N\) là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\)

Vẽ đường tròn \((\omega )\) đi qua \(A’, M, N\) nếu \(A’\) khác \(M\), hoặc \((\omega )\) đi qua \(N\) và tiếp xúc với \(BC\) tại \(M\) nếu \(A’\) trùng với \(M\). Lấy giao điểm thứ hai \(B’\) của \((\omega )\) và \(AC.\)

Khi đó  \(\overrightarrow {CA'} .\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {CB'} \) hay \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA'} .\overrightarrow {CB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB'} \), suy ra \(\overrightarrow {CA'} .\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CB'} .\overrightarrow {CA} \).

Vậy bốn điểm \(B, A’, B’, A\) cùng thuộc một đường tròn. Trong đường tròn này \(\widehat {AB'B} = \widehat {AA'B} = {90^0}\), vậy \((\omega )\) đi qua chân đường cao \(B’\) hạ từ đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC.\)

Đặt \(K\) là gao điểm thứ hai của \((\omega )\) với \(AA’,\) ta có \(\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AN} \).

Ta lại có \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC} \)  (do \(HB’CA’\) nội tiếp được).

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {AA'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {AC}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AA'} \). Do đó \(\overrightarrow {AK}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AH} \). Vậy \((\omega )\) đi qua trung điểm \(K\) của \(AH.\)

Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB,\) ta có \(KP// BB’\) và \(MP// AC,\) suy ra \(\widehat {KPM} = {90^0}\).

Tương tự cũng có \(\widehat {KNM} = {90^0}\) nên \(P\) nằm trên đường tròn \((\omega )\) đi qua \(M, N, K.\)

Lí luận tương tự như trên ta được chân đường cao \(C’\) hạ từ đỉnh \(C\) và trung điểm các đoạn \(HB, HC\) đều thuộc đường tròn \((\omega )\).

Sachbaitap.com