Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 83 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 83 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hypebol \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Một đường thẳng \(\Delta \) cắt \((H)\) tại \(P, Q\) và hai đường tiệm cận ở \(M\) và \(N\). Chứng minh rằng

a) \(MP=NQ ;\)

b) Nếu \(\Delta \) có phương không đổi thì tích \(\overline {PM} .\overline {PN} \)là hằng số.

Giải

(h.118).

 

a) Phương trình \((H) : \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Phương trình chung của các đường tiệm cận \(d_1, d_2\) là \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 0\).

Gọi phương trình của \(\Delta \) là: \(\alpha x + \beta y + \gamma  = 0   ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\).

Giả sử \(\beta  \ne 0\) , khi đó, do vế trái của phương trình \((H)\) và phương trình các đường tiệm cận giống nhau nên:

- Hoành độ các giao điểm \(P\) và \(Q\) của \(\Delta \) và \((H)\) là nghiệm của phương trình dạng:

\(a{x^2} + bx + c = 0\).

- Hoành độ các giao điểm \(M\) và \(N\) của \(\Delta \) và các tiệm cận là nghiệm của phương trình dạng:

\(a{x^2} + bx + d = 0\).

Gọi \(I, J\) lần lượt là trung điểm của \(PQ\) và \(MN,\) thì ta có: \({x_I} = {x_J} =  -  \dfrac{b}{{2a}}\). Suy ra \(I\) trùng với \(J\). Vậy \(MP=NQ.\)

Nếu \(\beta  = 0\) thì \(\Delta \) là đường thẳng vuông góc với \(Ox\). Vì \((H)\) và hai đường tiệm cận đều nhận \(Ox\) làm trục đối xứng nên dễ có \(MP=NQ.\)

b) Gọi \(\overrightarrow u (m ; n)  ({m^2} + {n^2} \ne 0)\) là vec tơ chỉ phương của \(\Delta \) và kí hiệu \(P = ({x_0} ; {y_0})\). Khi đó tồn tại các số \(t_1, t_2\) sao cho \(\overrightarrow {PM}  = {\kern 1pt} {t_1}\overrightarrow u  ,  \overrightarrow {PN}  = {t_2}\overrightarrow u \).

Ta có tọa độ của \(M\) và \(N\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = {x_0} + {t_1}m\\{y_M} = {y_0} + {t_1}n\end{array} \right.  ,   \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = {x_0} + {t_2}m\\{y_N} = {y_0} + {t_2}n.\end{array} \right.\)

\(M , N\) thuộc hai tiệm cận của \((H)\) nên \(t_1, t_2\) là nghiệm của phương trình:

\( \dfrac{{{{({x_0} + tm)}^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{{({y_0} + tn)}^2}}}{{{b^2}}} = 0\) hay \(\left( { \dfrac{{{m^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{n^2}}}{{{b^2}}}} \right){t^2} + 2\left( { \dfrac{{{x_0}m}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y_0}n}}{{{b^2}}}} \right)t + 1 = 0.\)

Rõ ràng \( \dfrac{{{m^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{n^2}}}{{{b^2}}} \ne 0\).

Do đó \({t_1}.{t_2} =  \dfrac{1}{{ \dfrac{{{m^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{n^2}}}{{{b^2}}}}} =  \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{m^2}{b^2} - {n^2}{a^2}}}\).

Vậy \(\overline {PM} .\overline {PN}  = \overrightarrow {PM} .\overrightarrow {PN} \)

\(= {t_1}.{t_2}.{\overrightarrow u ^2} =  \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{m^2}{b^2} - {n^2}{a^2}}}.({m^2} + {n^2})\) không đổi.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan