Bài 89 trang 52 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho điểm \(M\) nằm trong đường tròn \((O)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Kẻ các đường thẳng \(MA, MB, MC,\) chúng cắt lại đường tròn đó lần lượt ở \(A’, B’, C’\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{{({R^2} - M{O^2})}^3}}}{{{{(MA.MB.MC)}^2}}}\).

Giải

(h.76).

\(\begin{array}{l}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{{A'B'.B'C'.C'A'}}{{4R}}.\\{S_{ABC}} = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4R}}.\end{array}\)

Suy ra \(\dfrac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{A'B'.B'C'.C'A'}}{{AB.BC.CA}}\)    (*)

Ta lại có

\(\Delta MAB  \sim \Delta MB'A'\) nên \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{MA'}}{{MB}} = \dfrac{{MA.MA'}}{{MA.MB}}\).

Do \(MA.MA' = |{\wp _{M/(O)}}| = {R^2} - M{O^2}\) nên \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MA.MB}}\).

Tương tự 

\(\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MB.MC}}  ;\) \(   \dfrac{{C'A'}}{{CA}} = \dfrac{{{R^2} - M{O^2}}}{{MC.MA}}\)            (**)

Thay (**) vào (*) ta được điều phải chứng minh.

Sachbaitap.com