Câu 109 trang 153 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ \(BH \bot AC\). Gọi D là một điểm thuộc cạnh đáy BC. Kẻ \({\rm{D}}E \bot AC,DF \bot AB\). Chứng minh rằng DE + DF = BH.

Giải

Kẻ \({\rm{DK}} \bot {\rm{BH}}\)

Ta có: \(BH \bot AC\left( {gt} \right)\)

Suy ra: DK // AC (cùng vuông góc với BH)

\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat C\) (hai góc đồng vị)

Vì ∆ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)

Suy ra: \(\widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat B\)

Xét hai tam giác vuông BFD và DKB, ta có:

            \(\widehat {BF{\rm{D}}} = \widehat {DKB} = 90^\circ \)

            BD cạnh huyền chung

            \(\widehat {FB{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}B}\) (chứng minh trên)  

Suy ra: ∆BFD = ∆DKB (cạnh huyền, góc nhọn)

\( \Rightarrow \) DF = BK  (hai cạnh tương ứng)                                  (1)

Nối DH.

Xét ∆DEH và ∆HKD, ta có:

                \(\widehat {DEH} = \widehat {DKH} = 90^\circ \)

                DH cạnh huyền chung

               \(\widehat {EH{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}H}\) (hai góc so le trong)

Suy ra: ∆DEH = ∆HKD (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: DE = HK (hai cạnh tương ứng)              (2)

Mặt khác:   BH = BK + HK                                (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  DF + DE = BH

Sachbaitap.com