Câu 11 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) \(\overparen{AE}\) = \(\overparen{FB}\);

b) \(\overparen{AE}\) < \(\overparen{EF}\).

Giải

a) ∆OABcân tại O (vì OA = OB bán kính)

\( \Rightarrow \widehat A = \widehat B\)

Xét  ∆OAC và ∆OBD:

OA = OB (bán kính)

\(\widehat A = \widehat B\) (chứng minh trên)

AC = BD (gt)

Suy ra: ∆OAC = ∆OBD (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)       (1)

sđ \(\overparen{AE}\) \( = \widehat {{O_1}}\)                (2)

sđ \(\overparen{BF}\) \( = \widehat {{O_2}}\)                 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\overparen{AE}\) = \(\overparen{BF}\)

b) ∆OAC = ∆BOD (chứng minh trên)

\( \Rightarrow OC = OD\)

\( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại O nên \(\widehat {ODC} < {90^0}\). Suy ra: \(\widehat {CDF} > {90^0}\)

Trong ∆CDF ta có: \(\widehat {CDF} > {90^0} \Rightarrow CF > CD\) nên AC < CF

Xét ∆OAC và ∆OCF:

OA = OF (bán kính)

OC cạnh chung

AC < CF

Suy ra: \(\widehat {{O_1}} < \widehat {{O_3}}\) (hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ 3 không bằng nhau, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

sđ \(\overparen{AE}\) = \(\widehat {{O_1}}\)

sđ \(\overparen{EF}\) \( = \widehat {{O_3}}\)

Suy ra: \(\overparen{AE}\) < \(\overparen{EF}\).

Sachbaitap.com