Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.11). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm.
a. Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.
b. So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.
Giải:
a. Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:
AC = BD (1)
Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:
AC = BD (chứng minh trên )
AD = BC (ABCD cân)
CD cạnh chung
Suy ra: ∆ADC = ∆BCD (c.c.c)
Suy ra: \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\)
Hay \(\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)
Suy ra tam giác OCD cân tại O
Suy ra: OC = OD (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB
Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO
Trong tam giác OCD, ta có: \({{MO} \over {MD}} = {{NO} \over {NC}} = {1 \over 3}\)
Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét )
Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM
Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD
Suy ra: \({{OM} \over {OD}} = {{MN} \over {CD}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )
Suy ra: \({{MN} \over {CD}} = {{OM} \over {4OM}} = {1 \over 4}\)
Suy ra: \(MN = {1 \over 4}CD = {1 \over 4}.5,6 = 1,4\) (cm)
Ta có: MB = MD (gt)
Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM
Lại có: AB // CD (gt), suy ra: MN // AB
Trong tam giác OAB, ta có: MN // AB
Suy ra: \({{OM} \over {OB}} = {{MN} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )
Suy ra: \({{MN} \over {AB}} = {{OM} \over {2OM}} = {1 \over 2}\)
Vậy AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8 (cm)
b. Ta có: \({{CD - AB} \over 2} = {{5,6 - 2,8} \over 2} = {{2,8} \over 2} = 1,4\) (cm)
Vậy MN\( = {{CD - AB} \over 2}\)
Sachbaitap.com
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục