Câu 121 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng EH = DH

HD: Vẽ điểm I là trung điểm của DE, điểm M là trung điểm của BC.

Giải:                                                                         

BH ⊥ DE (gt)

CK ⊥ DE (gt)

Suy ra BH // CK nên tứ giác BHKC là hình thang

Ta có: Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE

Trong tam giác BDC vuông tại D có DM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.

⇒ DM = \({1 \over 2}\) BC (tính chất tam giác vuông)

Trong tam giác BEC vuông tại E có EM là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.

⇒ EM = ${1 \over 2}$BC (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: DM = EM nên ∆ MDE cân tại M

MI là đường trung tuyến nên MI là đường cao ⇒ MI ⊥ DE

Suy ra: MI // BH // CK

              BM = MC

Suy ra: HI = IK (tính chất đường trung bình hình thang)

⇒ HE + EI = ID + DK

mà EI = ID ( theo cách vẽ)

 ⇒ HE = DK

Sachbaitap.com