Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)

\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)

Trả lời

Trước hết, ta chứng minh

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DJ}   \cr  &  =  - {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + \overrightarrow {AD}  + {{\overrightarrow {DC} } \over 2}  \cr  &  =  - {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( {{{\overrightarrow c } \over 2}} \right)  \cr  &  = {{ - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \over 2}  \cr  & {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} + 4{\overrightarrow {IJ} ^2}  \cr  &  = {\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow c ^2} + {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right)^2}  \cr  &  = 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c  - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c   \cr  & {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} + {\overrightarrow {BC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2}  \cr  &  = {\left( {\overrightarrow c  - \overrightarrow a } \right)^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\left( {\overrightarrow c  - \overrightarrow b } \right)^2} + {\overrightarrow a ^2}  \cr  &  = 2{\overrightarrow a ^2} + 2{\overrightarrow b ^2} + 2{\overrightarrow c ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow c  - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c  \cr} \)

Vậy, ta có:

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} = A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + 4I{J^2}\)

Tương tự, ta có:

\(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\)

\(= B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} + 4H{K^2}\)

\( A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2} \)

\(= A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2} \)

Từ đó suy ra:

\(A{B^2} + C{{\rm{D}}^2} + A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} + B{C^2} + A{{\rm{D}}^2}\)

\(= 4\left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} \right)\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Bài viết liên quan