Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.

a. Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A

b. Tam giác DHE là tam giác gì ? Vì sao ?

c. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?

d. Chứng minh rằng BC = BD + CE.

Giải:

a. Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB

⇒ AB là đường trung trực của HD

⇒ AH = AD (tính chất đường trung trực) ⇒ ∆ ADH cân tại A

Suy ra: AB là tia phân giác của \(\widehat {DAH} \Rightarrow \widehat {DAB} = {\widehat A_1}\)

Điểm H và điểm E đối xứng qua trục AC

⇒ AC là đường trung trực của HE

⇒ AH = AE (tính chất đường trung trực) ⇒ ∆ AHE cân tại A

Suy ra: AC là đường phân giác của \(\widehat {HAE} \Rightarrow {\widehat A_2} = \widehat {EAC}\)

\(\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = 2\left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_2}} \right) = {2.90^0} = {180^0}\)

D, A, E thẳng hàng

AD = AE (vì cùng bằng AH)

nên điểm A là trung điểm của đoạn DE

Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

b) Tam giác DHE có HA là trung tuyến và \(AH = {1 \over 2}DE\)
nên tam giác DHE vuông tại H.

c) Xét \(\Delta ADB\) và \( \Delta AHB\) có:

+) AB chung

+) BD = BH ( vì AB là trung trực của DH)

+) AD = AH (vì AB là trung trực của DH)

\(\Rightarrow \Delta ADB = \Delta AHB\;(c.c.c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {ADB}=90^0\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta AEC\) và \( \Delta AHC\) có:

+) AC chung

+) EC = HC ( vì AC là trung trực của EH)

+) AE = AH (vì AC là trung trực của EH)

\(\Rightarrow \Delta AEC = \Delta AHC\;(c.c.c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AHC} = \widehat {AEC}=90^0\) (hai góc tương ứng)

Suy ra BD//CE (vì cùng vuông góc với DE)
Do đó tứ giác BDEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE nên BDEC là hình thang vuông.

d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH (5)
Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH (6)
Cộng vế với vế của (5) và (6) ta có BD+CE=BH+CH hay BD+CE=BC

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 8 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.