Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
a. P\( = {x^2} - 2x + 5\)
b. Q\( = 2{x^2} - 6x\)
c. M\( = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10\)
Giải:
a. P\(= {x^2} - 2x + 5)\\( = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\)
Ta có:
\({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\( \Rightarrow P = {x^2} - 2x + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\( \Rightarrow P = 4\) là giá trị bé nhất ⇒ \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = 1\)
Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi
b. Q\( = 2{x^2} - 6x\)\( = 2\left( {{x^2} - 3x} \right) = 2\left( {{x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} - {9 \over 4}} \right)\)
\( = 2\left[ {{{\left( {x - {3 \over 2}} \right)}^2} - {9 \over 4}} \right] = 2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2}\)
Ta có:
\({\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2} \ge - {9 \over 2}\)
\( \Rightarrow Q = - {9 \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {3 \over 2}\)
Vậy \(Q = - {9 \over 2}\) là giá trị bé nhất của đa thức \(x = {3 \over 2}\)
c.
\(\eqalign{ & M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10 = \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} - x + 1} \right) \cr & = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} - 2.{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \cr & \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4} \cr} \)
\( \Rightarrow M = {3 \over 4}\) là giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {y + 3} \right)^2} = 0\)
\( \Rightarrow y = - 3\) và \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}\)
Vậy \(M = {3 \over 4}\) là giá trị bé nhất tại \(y = - 3\) và \(x = {1 \over 2}\)
>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục