Câu 19 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Tam giác cân BAC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N

a. Chứng minh rằng: MN // AC.

b. Tính MN theo a, b

Giải:

a. Trong tam giác BAC, ta có: AM là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\)

Suy ra: \({{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác )     (1)

CN là đường phân giác \(\widehat {BCA}\)

Suy ra: \({{NA} \over {NB}} = {{AC} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác )   (2)

Lại có: AB = CB = a (gt) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\)

Trong tam giác BAC, ta có: \({{NA} \over {NB}} = {{MC} \over {MB}}\)

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét)

b. Ta có: \({{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (chứng minh trên )

Suy ra: \({{MC + MB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}} \Rightarrow {{CB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}}\)

Hay \({a \over {MB}} = {{b + a} \over a} \Rightarrow MB = {{{a^2}} \over {a + b}}\)

Trong tam giác ABC, ta có:

MN // AC (chứng minh trên )

Và \({{MN} \over {AC}} = {{MB} \over {BC}}\)

Vậy \(MN = {{AC.MB} \over {BC}} = {{b.{{{a^2}} \over {a + b}}} \over a} = {{ab} \over {a + b}}\)

Sachbaitap.com