Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 20 trang 241 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 20 trang 241 SBT Đại số 10 Nâng cao

a) Chứng minh rằng với mọi số thực \(a,b,c,x,y,z\left( {xyz \ne 0} \right)\), luôn có

\({\left( {ax + by + cz} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right).\) 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}\).

b) Áp dụng. Cho \({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} = 6\). Chứng minh rằng \(\left| {x + 2y + 3z} \right| \le 6.\)

Giải:

a) Cách 1. Từ đẳng thức

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\\ = {\left( {ax + by + cz} \right)^2} + {\left( {ay - bx} \right)^2} + {\left( {bz - cy} \right)^2} + {\left( {az - cx} \right)^2}\end{array}\)

dễ dàng suy ra

\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {ax + by + cz} \right)^2}\).

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}ay = bx\\bz = cy\\az = cx\end{array} \right.\) tức là \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}.\)

Cách 2.

\(\begin{array}{l}{\left( {ax + by + cz} \right)^2} = {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + 2abxy + 2acxz + 2bcyz\\ \le {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {a^2}{z^2} + {c^2}{x^2} + {b^2}{z^2} + {c^2}{y^2}\\ = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right).\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2y + 3z} \right)^2}\\ = {\left( {1.x + \sqrt 2 .\sqrt {2y}  + \sqrt 3 .\sqrt {3z} } \right)^2}\\ \le \left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {1 + 2 + 3} \right)\\ = 6.6 = 36.\end{array}\)  

Vì vậy \(\left| {x + 2y + 3z} \right| \le 6\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan