Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 2.36 trang 36 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 2.36 trang 36 SBT Đại số 10 Nâng cao

Hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có giá trị nhỏ nhất bằng \({3 \over 4}\) khi \(x = {1 \over 2}\) và nhận giá trị bằng 1 khi \(x = 1.\)

a. Xác định các hệ số \(a, b\) và \(c\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((P)\) của hàm số nhận được.

b. Xét đường thẳng \(y = mx\), kí hiệu bởi \((d)\). Khi \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) phân biệt, hãy xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB.\)

Giải:

a. ● Vì hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \({3 \over 4}\) khi \(x = {1 \over 2}\) nên \( - {b \over {2a}} = {1 \over 2}\) và \( - {\Delta  \over {4a}} =  - {{{b^2} - 4ac} \over {4a}} = {3 \over 4},\) suy ra \(a = -b\) và \(–a + 4c = 3.\)

Vì hàm số có giá trị bằng 1 khi \(x = 1\) nên \(f(1) = a + b + c = 1\), suy ra \(c = 1\) (do \(a = -b\)). Do đó \(a = 4c – 3 = 1\) và \(b = -1\).

Vậy hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - x + 1\)

●Do hệ số \(a = 1 > 0\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại \(x = {1 \over 2}\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right).\)

Bảng biến thiên :

 

Hàm số có đồ thị

b. Đường thẳng \(y = mx\) cắt parabol \((P)\)

tại hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) nếu

và chỉ nếu phương trình \({x^2} - x + 1 = mx\) hay

\({x^2} - \left( {1 + m} \right)x + 1 = 0\)           (1)

Có hai nghiệm phân biệt, tức là biệt thức \(\Delta  = {\left( {1 + m} \right)^2} - 4 = {m^2} + 2m - 3\) dương.

Khi đó, hai nghiệm của (1) chính là \(x_A\) và \(x_B\). Theo định lí Vi-ét, ta có

\({x_A} + {x_B} = 1 + m\)                  (2)

Từ (2) ta suy ra hoành độ trung điểm \(C\) của đoạn thẳng \(AB\) là

\({x_C} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{1 + m} \over 2}.\)

Do \(C\) là một điểm thuộc đường thẳng \((d)\) nên tung độ \(y_C\) của nó thỏa mãn

\({y_C} = m{x_C} = {{m\left( {1 + m} \right)} \over 2}\)

Kết luận. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là \(C\left( {{{1 + m} \over 2};{{m\left( {1 + m} \right)} \over 2}} \right)\) với điều kiện \({m^2} + 2m - 3 > 0.\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan